経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
正の内部収益率
【問】 多期間にわたって，キャッシュ・フローをもたらす投資機会は，キャッシュ・フロー$CF_1,CF_2, \ldots ,CF_n$の合計額が，初期の投資額（$=I$）を上回るとき，正の内部収益率をもたらすことを示しなさい．
【解答】
Time Line Technique の表から，
\[
\begin{array}{cccc}
年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm}\\ \hline
0 & -I &/ 1 & -I \\
1 &CF_1& / (1+r)^1& \dfrac{CF_1}{(1+r)}\\
2 &CF_2& / (1+r)^2& \dfrac{CF_2}{(1+r)^2}\\
\vdots &\vdots& \vdots&\vdots \\
n &CF_n& / (1+r)^n & \dfrac{CF_n}{(1+r)^n}\\
\end{array}
\]
であるので，内部収益率は$r$についての方程式，
\[
-I+\dfrac{CF_1}{(1+r)}+\dfrac{CF_2}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{CF_n}{(1+r)^n}=0
\]
の解である．ここで関数$f(x)$を次式で定義する．
\[
f(x)=-I+CF_1x+CF_2x^2+\cdots CF_nx^n．
\]
このとき，投資額$I$をキャッシュ・フローの合計額$CF_1+CF_2+\cdots CF_n$が上回るのだから，
\begin{align}
f(0)&=-I < 0\\[2ex]
f(1)&=-I+CF_1+CF_2+\cdots CF_n > 0
\end{align}
となる．従って「中間値の定理」から，$f(c)=0$となる$0 < c < 1$が存在する．
$r=\dfrac{1}{c}-1$が求める方程式の解，即ち内部収益率
（$0 < c < 1$なのだから$\dfrac{1}{c}>1$となり，$r>0$は容易に確認できる）である．
【解答終】
【メモ】
「中間値の定理」は『経出る』でも『ワークブック』でも取り上げていないが既知とした．参考『高校数学の美しい物語』
【メモ終】
【Further Reading】
デービッド・Ｇ・ルーエンバーガー『金融工学入門』日本経済新聞社（2002）
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