経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
内部収益率の一意性
【問】 多期間にわたって，キャッシュ・フローをもたらす投資機会は，正のキャッシュ・フロー$CF_1>0,CF_2>0, \ldots ,CF_n>0$の合計額が，初期の投資額（$=I$）を上回るとき，内部収益率は一意に決まることを示しなさい．
【解答】
Time Line Technique の表から，
\[
\begin{array}{cccc}
年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm}\\ \hline
0 & -I &/ 1 & -I \\
1 &CF_1& / (1+r)^1& \dfrac{CF_1}{(1+r)}\\
2 &CF_2& / (1+r)^2& \dfrac{CF_2}{(1+r)^2}\\
\vdots &\vdots& \vdots&\vdots \\
n &CF_n& / (1+r)^n & \dfrac{CF_n}{(1+r)^n}\\
\end{array}
\]
であるので，内部収益率は$r$についての方程式，
\[
-I+\dfrac{CF_1}{(1+r)}+\dfrac{CF_2}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{CF_n}{(1+r)^n}=0
\]
の解である．ここで関数$f(x)$を次式で定義する．
\[
f(x)=-I+CF_1x+CF_2x^2+\cdots CF_nx^n．
\]
このとき，$CF_1>0, CF_2>0, \ldots CF_n>0$なのだから，
\begin{align}
f^{\prime}(x)&=CF_1+2CF_2x+\cdots nCF_nx^{n-1}> 0\\[2ex]
\end{align}
なので，$f(x)$は狭義単調増加関数である．従って「中間値の定理」から得られる，$f(c)=0$となる
$0 < c < 1$ は一意である．
【解答終】
【メモ】
$I=1,000$, $CF_1=2,150, CF_2=-1,155$とすると，
\[
f(x)=-1000+2150x-1155x^2=-(11x-10)(105x-100)
\]
となり，内部収益率は一意ではない．
【メモ終】
【Further Reading】
藤田岳彦「ファイナンスに必要な数学」経済セミナーNo.666（2012）
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