経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
ローン返済（Loan Amortization）
【問】 $A$円を元利均等返済（毎回の返済額が一定）で$n$期にわたって，返済するローンを組んだ．利子率が$r$の時，毎期の返済額はいくらになるか求めなさい．
【解答】
定額の返済額を$a$円とする．Time Line Technique の表から，
\[
\begin{array}{cccc}
年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm}\\ \hline
0 & A&/ 1 & A \\
1 &-a& / (1+r)^1& \dfrac{-a}{(1+r)}\\
2 &-a& / (1+r)^2& \dfrac{-a}{(1+r)^2}\\
\vdots &\vdots& \vdots&\vdots \\
n &-a& / (1+r)^n & \dfrac{-a}{(1+r)^n}\\
\end{array}
\]
であるので，$n$期で完済する条件を使うと，
\[
A-\dfrac{a}{(1+r)}-\dfrac{a}{(1+r)^2}-\cdots -\dfrac{a}{(1+r)^n}=0
\]
となる．したがって．
\begin{align}
(1+r)A&=a+\dfrac{a}{(1+r)}+\cdots +\dfrac{a}{(1+r)^{n-1}}\\
A&=\dfrac{a}{(1+r)}+\dfrac{a}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{a}{(1+r)^n}
\end{align}
なので，辺々引き算すると，
\[
rA=a\Bigl(1-\dfrac{1}{(1+r)^n}\Bigr)=a\dfrac{(1+r)^n-1}{(1+r)^n}
\]
となり，
\[
a=\dfrac{r(1+r)^nA}{(1+r)^n-1}
\]
が得られる．
【解答終】
【Further Reading】
C.R. Holden, ‘Excel Modeling and Estimation in the Fundamentals of Corporate Finance, 3rd ed.’, Peason Prentice Hall（2009）
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