経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
年金（Annuity）
【問】 退職までに$A$円を積み立てた．この積立は$n$年にわたって毎年$a$円が支払われる年金の原資となっている．利子率が$r$の時，毎年の受取額はいくらになるか求めなさい．
【解答】
Time Line Technique の表から，
\[
\begin{array}{cccc}
年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm}\\ \hline
0 & -A&/ 1 & -A \\
1 &a& / (1+r)^1& \dfrac{a}{(1+r)}\\
2 &a& / (1+r)^2& \dfrac{a}{(1+r)^2}\\
\vdots &\vdots& \vdots&\vdots \\
n &a& / (1+r)^n & \dfrac{a}{(1+r)^n}\\
\end{array}
\]
であるので，$n$期で枯渇する条件を使うと，
\[
-A+\dfrac{a}{(1+r)}+\dfrac{a}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{a}{(1+r)^n}=0
\]
となる．したがって．
\begin{align}
(1+r)A&=a+\dfrac{a}{(1+r)}+\cdots +\dfrac{a}{(1+r)^{n-1}}\\
A&=\dfrac{a}{(1+r)}+\dfrac{a}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{a}{(1+r)^n}
\end{align}
なので，辺々引き算すると，
\[
rA=a\Bigl(1-\dfrac{1}{(1+r)^n}\Bigr)=a\dfrac{(1+r)^n-1}{(1+r)^n}
\]
となり，
\[
a=\dfrac{r(1+r)^nA}{(1+r)^n-1}
\]
が得られる．
【解答終】
【Further Reading】
L.N. Dworsky, ‘Understanding the Mathematics of Personal Finance’, Wiley（2009）
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