債券は利子率が変動することによって，債券価格も変動するリスクにさらされる．本問は利付債についてそのリスクの指標であるデュレーションが，ポートフォリオによってどのようになるのかを考える．
Time Line Technique を次のように改変したものの，最右辺の和を価格$P$で割ったものをマコーレーのボンド・デュレーションといい $D$ であらわす． \[ \begin{array}{ccccc} 年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\times 年\hspace{4mm}\\ \hline 0 & -P &/ 1 & 0 & 0\\ 1 &CF_1& / (1+r)^1& \dfrac{CF_1}{(1+r)^1}& \dfrac{1\times CF_1}{(1+r)^1}\\ 2 &CF_2& / (1+r)^2& \dfrac{CF_2}{(1+r)^2}& \dfrac{2\times CF_2}{(1+r)^2}\\ \vdots &\vdots& \vdots&\vdots &\vdots \\ n &CF_n& / (1+r)^n & \dfrac{CF_n}{(1+r)^n}& \dfrac{n\times (CF_n)}{(1+r)^n}\\ \end{array} \] したがって， \begin{align} D&=\left\{\frac{CF_1}{(1+r)^1}+\frac{2CF_2}{(1+r)^2}+\cdots +\frac{n(CF_n)}{(1+r)^n}\right\}/P=\dfrac{\sum_{k=1}^{n}kPV_k}{P} \end{align} である（$PV_k$は$k$年のCFの現在価値）．【問】 債券$B_1$のデュレーションを$D_1$，価格を$P_1$とし， 債券$B_2$のデュレーションを$D_2$，価格を$P_2$とする． このとき，ポートフォリオ$w_1B_1+w_2B_2$のデュレーション$D$は， \[ D=\dfrac{w_1P_1D_1+w_2P_2D_2}{w_1P_1+w_2P_2} \] となることを示しなさい．ただし，$w_1+w_2=1$とする．