経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
積立金額
目標額$F$円とし，毎年$c$円を利率$r$で$n$年間積み立てるとすると，
\[
c= \dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{F}{(1+r)^{n+1}-(1+r)}
\]
となることを示しなさい．
【解答】
TLTの表から
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{array}{cccc}
年 & CF& DF & PV\\ \hline
0 & -c &/ (1+r)^0& \dfrac{-c}{(1+r)^0} \\
1 &-c& / (1+r)^1& \dfrac{-c}{(1+r)^1} \\
2 &-c& / (1+r)^2& \dfrac{-c}{(1+r)^2} \\
\vdots &\vdots& \vdots&\vdots \\
n-1 &-c& / (1+r)^{n-1} & \dfrac{-c}{(1+r)^{n-1}} \\
n &F& / (1+r)^{n} &\dfrac{F}{(1+r)^{n} }\\
\end{array}
\]
出入りの辻褄あわせに，$NPV=0$とすると，
\begin{align*}
\dfrac{F}{(1+r)^{n}}&=\dfrac{c}{(1+r)^0} + \dfrac{c}{(1+r)^1}+\cdots +\dfrac{c}{(1+r)^{n-1}}\\
F&=c(1+r)^{n}+c(1+r)^{n-1}+\cdots +c(1+r)^{1}．
\end{align*}
\[
(1+r)F=c(1+r)^{n+1}+c(1+r)^{n}+\cdots +c(1+r)^{2}
\]
なので，辺々引き算することで，
\begin{align*}
rF&=c\Bigl\{(1+r)^{n+1}-(1+r)^{1}\Bigr\}\\
c&= \dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{F}{(1+r)^{n+1}-(1+r)}
\end{align*}
を得る．
【解答終】
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