経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
複利最終利回りと単利最終利回り
償還期間$T$，額面$F$，クーポン$C$，価格$P$の利付債の複利最終利回りとは，この債券のIRRのことをいう．すなわち，
\[
P=\dfrac{C}{(1+r)^1}+\dfrac{C}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{C}{(1+r)^T}
\]
を満たす$r$が複利最終利回りである．一方，
\[
r_s=\dfrac{C+ (F-P)/T}{P}
\]
を単利最終利回りという．
【問】
\[
F>P\Leftrightarrow r_s > r
\]
が成立することを示しなさい．
【解答】
まず，額面$F$を$P$と$C$と$r$を使って表す．
\[
P=\dfrac{C}{(1+r)^1}+\dfrac{C}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{C}{(1+r)^{T}}+\dfrac{F}{(1+r)^{T}}
\]
なので，
\begin{align*}
F&=(1+r)^TP-C\bigl((1+r)^{T-1}+\cdots +(1+r)^1+1\bigr)\\
&=(1+r)^TP-C\dfrac{(1+r)^T-1}{r}\\
F-P&=\bigl((1+r)^T-1\bigr)P-C\dfrac{(1+r)^T-1}{r}\\
&=\bigl((1+r)^T-1\bigr)\Bigl(P-\dfrac{C}{r}\Bigr)．
\end{align*}
$(1+r)^T-1>0$なのだから，
\[
F>P\Leftrightarrow P>\dfrac{C}{r}
\]
である．一方，単利最終利回りの定義式から，$F=P+r_sTP-CT$なので，
\begin{align*}
(1+r)^TP-C\dfrac{(1+r)^T-1}{r}&=P+r_sTP-CT\\
(1+r)^TP-(1+Tr_s)P&=C\dfrac{(1+r)^T-1}{r}-CT\\
\bigl((1+r)^T-(1+Tr_s)\bigr)P&=C\dfrac{(1+r)^T-(1+rT)}{r}\\
\dfrac{(1+r)^T-(1+Tr_s)}{(1+r)^T-(1+rT)}P&=\dfrac{C}{r}\\
\end{align*}
ゆえに，
\begin{align*}
P-\dfrac{C}{r}&=\dfrac{(1+r)^T-(1+Tr)-(1+r)^T+(1+Tr_s)}{(1+r)^T-(1+rT)}\\
&=\dfrac{(r_s-r)T}{(1+r)^T-(1+rT)}
\end{align*}
以上より，
\[
F>P\Leftrightarrow P >\dfrac{C}{r} \Leftrightarrow r_s >r
\]
を得る（$複利 > 単利$の不等式，$(1+r)^T-(1+rT)>0$を使った）．
【解答終】
【メモ】
$F>P$のとき，アンダーパーであるという．従って，アンダーパーであることと，単利最終利回りが複利最終利回りを上回ることは，同値である．
【メモ終】
【Further Reading】 青沼・岩城『EXCELで学ぶファイナンス$3$ 債券・金利・為替』きんざい（平成14年）
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