経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
正の内部収益率（双曲割引）
【問】 多期間にわたって，キャッシュ・フローをもたらす投資機会は，キャッシュ・フロー$CF_1>0,CF_2>0, \ldots ,CF_n>0$の合計額が，初期の投資額（$=I$）を上回るとき，双曲割引でも正の内部収益率をもたらすことを示しなさい．
【解答】
Time Line Technique の表は，
\[
\begin{array}{cccc}
年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm}\\ \hline
0 & -I &/ 1 & -I \\
1 &CF_1& / (1+r)& \dfrac{CF_1}{(1+r)}\\
2 &CF_2& / (1+2r)& \dfrac{CF_2}{(1+2r)}\\
\vdots &\vdots& \vdots&\vdots \\
n &CF_n& / (1+nr) & \dfrac{CF_n}{(1+nr)}\\
\end{array}
\]
であるので，内部収益率は$r$についての方程式，
\[
-I+\dfrac{CF_1}{(1+r)}+\dfrac{CF_2}{(1+2r)}+\cdots +\dfrac{CF_n}{(1+nr)}=0
\]
の解である．ここで関数$f(r)$を次式で定義する．
\[
f(x)=
-I+\dfrac{CF_1}{(1+r)}+\dfrac{CF_2}{(1+2r)}+\cdots +\dfrac{CF_n}{(1+nr)}．
\]
このとき，投資額$I$をキャッシュ・フローの合計額$CF_1+CF_2+\cdots CF_n$が上回るのだから，
\begin{align}
f(0)&=-I+CF_1+CF_2+\cdots CF_n > 0\\[2ex]
\lim_{r\to \infty}f(r)&=-I < 0
\end{align}
となる．一方
\[
f^{\prime}(r)=-\dfrac{CF_1}{(1+r)^2}-\dfrac{2CF_2}{(1+2r)^2}-\cdots -
\dfrac{nCF_n}{(1+nr)^2} <0
\]
なので，$f(r)$は単調減少．従って，$f(r)=0$となる$r>0$が存在する．
【解答終】
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