経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
クーポンレートと利回り
【問】 額面$F$と市場価格$P$が等しい（パーである）とき，$IRR=r$はクーポンレート$c$と等しくなることを示しなさい．
【解答】
$P=F$なのだからIRRは次式を満たす．
\[
0=\frac{cF}{(1+r)}+\frac{cF}{(1+r)^2}+\frac{cF}{(1+r)^3}\cdots +\frac{cF}{(1+r)^{T-1}}+\frac{cF+F}{(1+r)^T}-F
\]
$\displaystyle x=1+r$とおき，上式を書き換えると，
\[
Fx^T-cFx^{T-1}-cFx^{T-2}-\cdots -cF-F=0
\]
となる．左辺を$\bigl(x-(1+c)\bigr)$で割ると，
\[
\bigl(x-(1+c)\bigr)\bigl(Fx^{T-1}+Fx^{T-2}+ \cdots F\bigr)=0
\]
より，$x=1+c \Leftrightarrow r=x-1=1+c-1=c$となる．
【解答終】
【問】 クーポンレートと利回りが等しいとき，債券価格は額面と一致する（パーである）ことを示しなさい．
【解答】
利回り $r$ ，クーポンレート $c$ ，額面 $F$ ，償還期間 $T$ の利付債の割引現在価値 $PV$ は，
$r=c$のとき，
\begin{eqnarray*}
PV&=&\dfrac{rF}{1+r}+\dfrac{rF}{(1+r)^2}+\cdots + \dfrac{rF+F}{(1+r)^T}\\
&=&\dfrac{rF}{1+r}+\dfrac{rF}{(1+r)^2}+\cdots + \dfrac{rF}{(1+r)^T}+\dfrac{F}{(1+r)^T}
\end{eqnarray*}
と書ける．ここで，$S=\dfrac{rF}{1+r}+\dfrac{rF}{(1+r)^2}+\cdots + \dfrac{rF}{(1+r)^T}$ とし，$(1+r)S-S$ を計算すると，
\[
\begin{array}{crcccccccccccc}
&(1+r)S&=&rF&+&\dfrac{rF}{1+r}&+&\dfrac{rF}{(1+r)^2}&+&\cdots&+&\dfrac{rF}{(1+r)^{T-1}}&&\\
- \ ) & S&=&&&\dfrac{rF}{1+r}&+&\dfrac{rF}{(1+r)^2}&+&\cdots&+&\dfrac{rF}{(1+r)^{T-1}}&+&\dfrac{rF}{(1+r)^{T}}\\\hline
&rS&=&rF&&&&&&&&&-&\dfrac{rF}{(1+r)^{T}}
\end{array}
\]
ゆえに $S=F-\dfrac{F}{(1+r)^{T}}$ となり，$PV=S+\dfrac{F}{(1+r)^{T}}
=F-\dfrac{F}{(1+r)^{T}}+\dfrac{F}{(1+r)^{T}}=F$ ，すなわち，割引現在価値は償還額と等しくなる．
【解答終】
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