経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
積立年数と常用対数
【問】 年利$5$％で毎年$1$万円を積み立てる．総額が$20$万円を超えるのは何年後か求めなさい．
ただし，$\log_{10}2=0.3010, \log_{10}3=0.4771,\log_{10}7=0.8450$としなさい．
上智大学（2018）入試問題より
【解答】
$n$年後の積立額を$S$とすると，
\[
S=(1+0.05)^n+(1+0.05)^{n-1}+\cdots +(1+0.05)+1
\]
なので，
\[
1.05S=(1+0.05)^{n+1}+(1+0.05)^n+\cdots +(1+0.05)^2+(1+0.05)
\]
である．辺々引き算をすると，
\[
0.05S=(1+0.05)^{n+1}-1
\]
なので，
\[
S=20\Biggl(\Bigl(\frac{21}{20}\Bigr)^{n+1}-1\Biggr)\geq 20
\]
を解くのには，
\[
\Bigl(\frac{21}{20}\Bigr)^{n+1}\geq 2
\]
を解けばよい．
両辺の常用対数を取ると，
\[
(n+1)\Bigl(\log_{10}7+\log_{10}3-\log_{10}10-\log_{10}2\Bigr)\geq \log_{10}2
\]
したがって，$\log_{10}2=0.3010, \log_{10}3=0.4771,\log_{10}7=0.8450$を使うと，
\[
0.0211(n+1)\geq 0.3010 \Rightarrow n+1 \geq 14.26
\]
より，$n\geq 13.26$となるので$14$年かかる．．
【解答終】
【Further Reading】 YOUTUBE鈴木貫太郎チャンネル
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