経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

利付債の価格の変動率（修正デュレーション）【『経出る』（練習問題5.10）】

債券は利子率が変動することによって，債券価格も変動するリスクにさらされる．本問は利付債についてそのリスクを考える．

$r$：現在の利子率
$\bar{r}$：変化後の利子率
$P=P(r)$：現在の債券価格
$\bar{P}=P(\bar{r})$：変化後の債券価格
$\Delta r =\bar{r}-r $：利子率の変動値
$\Delta P =\bar{P}-P $：債券価格の変動値
$\dfrac{\Delta P}{P}$：価格の変動率

Time Line Technique の表から， \[ \begin{array}{cccc} 年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm}\\ \hline 0 & -P &/ 1 & 0 \\ 1 &C& / (1+r)^1& \dfrac{C}{(1+r)^1}\\ 2 &C& / (1+r)^2& \dfrac{C}{(1+r)^2}\\ \vdots &\vdots& \vdots&\vdots \\ n &C+F& / (1+r)^n & \dfrac{C+F}{(1+r)^n}\\ \end{array} \] であるので，$P=\dfrac{F}{(1+r)^n}$，$\bar{P}=\dfrac{F}{(1+\bar{r})^n}$ である．なので， \[ \begin{array}{rcc} P(\bar{r})&=&\dfrac{C}{(1+\bar{r})^1}+\dfrac{C}{(1+\bar{r})^2}+\cdots +\dfrac{(C+F)}{(1+\bar{r})^n}\\ -）P(r)&=&\dfrac{C}{(1+r)^1}+\dfrac{C}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{(C+F)}{(1+r)^n}\\\hline \end{array} \] から正確な（使える）公式を導くのは難しそうだ．そこで，微分を使った近似公式を導く Time Line Technique を次のように改変したものの，最右辺の和を価格$P$で割ったものをマコーレーのボンド・デュレーションといい $D$ であらわす． \[ \begin{array}{ccccc} 年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\times 年\hspace{4mm}\\ \hline 0 & -P &/ 1 & 0 & 0\\ 1 &C& / (1+r)^1& \dfrac{C}{(1+r)^1}& \dfrac{1\times C}{(1+r)^1}\\ 2 &C& / (1+r)^2& \dfrac{C}{(1+r)^2}& \dfrac{2\times C}{(1+r)^2}\\ \vdots &\vdots& \vdots&\vdots &\vdots \\ n &C+F& / (1+r)^n & \dfrac{C+F}{(1+r)^n}& \dfrac{n\times (C+F)}{(1+r)^n}\\ \end{array} \] したがって， \[ D=\left\{\frac{C}{(1+r)^1}+\frac{2C}{(1+r)^2}+\cdots +\frac{n(C+F)}{(1+r)^n}\right\}/P \] である．また，$D$ を $1+r$ で割ったものを修正ボンド・デュレーションといい $D_{m}$ であらわす．

【問１】　利子率の変化にともなう，利付債の価格変動率は次の式で近似できることを示しなさい． $\dfrac{\Delta P}{P}\approx -D_{m}\times\Delta r=-D_{m}(\bar{r}-r)$．

【解答】

$\left(\dfrac{1}{(1+r)^k}\right)^{\prime}=\dfrac{-k}{(1+r)^{k+1}}$

$P^{\prime}(r)=- \left\{\dfrac{C}{(1+r)^2}+\dfrac{2C}{(1+r)^3}+\cdots +\dfrac{n(C+F)}{(1+r)^{n+1}}\right\}$

$\dfrac{\Delta P}{P}\approx \dfrac{P^{\prime}(r)\Delta r}{P}= -\left\{\dfrac{C}{(1+r)^2}+\dfrac{2C}{(1+r)^3}+\cdots +\dfrac{n(C+F)}{(1+r)^{n+1}}\right\}\Delta r/P =-\left\{\dfrac{C}{(1+r)^1}+\dfrac{2C}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{n(C+F)}{(1+r)^{n}}\right\}\Delta r/P(1+r) =-D\Delta r/(1+r)=-D_{m}\Delta r$

【解答終】

【問２】　$D_{m}=3.5$ のときに、利子率が $5\%$ から $6\%$ に変化すると、価格はどう変動（何％　上昇・下落）するか求めなさい．

【解答】

$\dfrac{\Delta P}{P}\approx -D_{m}\times\Delta r=-3.5(6-5)=-3.5$ なので．約$3.5\%$下落する．

【解答終】

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