経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

SIRモデルと漸化式

【問】　ある都市における感染症の流行の推移を，$3$つの数列の漸化式で表した．漸化式は$n=1,2,3,\ldots $で成り立つものとする． \[ \left\{\begin{align} S_{n+1}&=S_n-{\beta}S_nI_n\\ I_{n+1}&=I_n+{\beta}S_nI_n-{\gamma}I_n\\ R_{n+1}&=R_n+{\gamma}I_n \end{align}\right. \] ここで$S_n, I_n, R_n$はぞれぞれ，第$n$週における未感染者数，感染者数，回復者数を表す． $\beta$および$\gamma$は，それぞれ感染率，回復率を示し，$0< \beta < 1, 0< \gamma < 1$とする． また$S_1=N > 0, I_1=M > 0, R_1=0, {\beta}I_n < 1$とする． $\dfrac{{\beta}N}{\gamma}$を基本再生算数，$\dfrac{{\beta}S_n}{\gamma}$を第$n$週の実効再千生産数と呼ぶ．このとき次の問に答えよ．

1. $S_n+I_n+ R_n$を求めよ．
2. $\dfrac{{\beta}N}{\gamma} > 1$を仮定して，$I_n$のグラフを描け．

1. $S_n+I_n+ R_n=N+M$は明らか．
2. 第$2$式から \[ I_{n+1}=(1+{\beta}S_n-{\gamma})I_n \] である．感染初期には$S_n=N$としてよい．従って， \[ I_{n+1}=(1+{\beta}N-{\gamma})I_n \] となるので， \[ I_n=(1+{\beta}N-{\gamma})^{n-1}I_1 \] である．したがって，$\dfrac{{\beta}N}{\gamma} > 1$だと感染者数は指数的に増加する．

1. $S_n+I_n+ R_n=N+M$は明らか．
2. 第$2$式から \[ I_{n+1}=(1+{\beta}S_n-{\gamma})I_n \] である．感染初期には$S_n=N$としてよい．従って， \[ I_{n+1}=(1+{\beta}N-{\gamma})I_n \] となるので， \[ I_n=(1+{\beta}N-{\gamma})^{n-1}I_1 \] である．したがって，$\dfrac{{\beta}N}{\gamma} > 1$だと感染者数は指数的に増加する．