経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
等比数列の和の公式
【問】
$r\neq 1$に対し
\[
a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n}=a\dfrac{r^{n+1}-1}{r-1}
\]
であることを示せ．
【解答】
\[
(x-1)(x^n+x^{n-1}+\cdots +x+1)=x^{n+1}-1
\]
を使う．
\begin{eqnarray*}
(r-1)(a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n})&=&a(r-1)(1+r+\cdots + r^n)\\
&=&a(r^{n+1}-1)
\end{eqnarray*}
従って，
\[
a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n}=a\dfrac{r^{n+1}-1}{r-1}
\]
となる．
【解答終】
【Further Reading】YouTube 鈴木貫太郎チャンネル「26次式の因数分解」
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