経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
リスク・プレミアムと割引配当モデル
【問】
金利 $r$，リスク・プレミアム ${\rho}$，毎年一定の配当 $d$ に対し，
第 $t$ 年の株価 $p_t$は
\[
p_t=\dfrac{d}{r+{\rho}}
\]
であることを示せ．
【解答】
第 $t+1$ 年の株式の収益率は
\[
\dfrac{d+p_{t+1}-p_t}{p_t}
\]
であるので，無裁定条件から
\[
r+{\rho}=\dfrac{d+p_{t+1}-p_t}{p_t}
\]
となる．
従って，
\begin{eqnarray*}
p_t(r+{\rho})&=&d+p_{t+1}-p_t\\
p_t(1+r+{\rho})&=&d+p_{t+1}\\
p_t&=&\dfrac{d}{1+r+{\rho}}+\dfrac{p_{t+1}}{1+r+{\rho}}
\end{eqnarray*}
を得る．同様に
\[
p_{t+1}=\dfrac{d}{1+r+{\rho}}+\dfrac{p_{t+2}}{1+r+{\rho}}
\]
なので，
\[
p_{t}=\dfrac{d}{1+r+{\rho}}+\dfrac{d}{(1+r+{\rho})^2}+\dfrac{p_{t+3}}{1+r+{\rho}}
\]
となる．これを$\infty$ まで繰り返すことで，
\[
p_{t}=\dfrac{d}{1+r+{\rho}}+\dfrac{d}{(1+r+{\rho})^2}+\dfrac{p_{t+3}}{1+r+{\rho}}+\cdots =\dfrac{d}{r+{\rho}}
\]
を得る．
【解答終】
【Further Reading】
平口・稲葉『マクロ経済学 入門の「一歩前」から応用まで [第3版]有斐閣ストゥディア（2020）
『経出る』例題4.7
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