経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

級数の収束・発散（セントペテルスブルグの逆説）

【問１】　次の級数の収束・発散を判定しなさい． \[ \sum_{k=1}^{\infty}2^k\times \dfrac{1}{2^k}． \]

【解答】
\[ \sum_{k=1}^{\infty}2^k\times \dfrac{1}{2^k}=1+1+\cdots =\infty． \] なので $+\infty$ に発散する．
【解答終】

【問２】　次の級数の収束・発散を判定しなさい． \[ \sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{2^k}\times \dfrac{1}{2^k}． \]

【解答】
\[ \sum_{k=1}^{t}\sqrt{2^k}\times \dfrac{1}{2^k}= \sum_{k=1}^{t}\dfrac{1}{\sqrt{2^k}}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{t-1}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}， \] なので， \begin{align} \sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{2^k}\times \dfrac{1}{2^k}&= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\times \dfrac{1-\displaystyle\lim_{t \to \infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{t-1}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\\[2ex] &=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}\\[2ex] &=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}\times \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} =\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}={\sqrt{2}+1}． \end{align}
【解答終】

【問３】　次の級数の収束・発散を判定しなさい． \[ \sum_{k=1}^{\infty}\log_{10}{2^k}\times \dfrac{1}{2^k}． \]

【解答】
\[ S=\sum_{k=1}^{\infty}\log_{10}{2^k}\times \dfrac{1}{2^k}= \sum_{k=1}^{t}\dfrac{k}{2^k} \] なので， \[ \begin{array}{ccccccc} S&=&\dfrac{\log_{10}{2}}{2}+&\dfrac{2\log_{10}{2}}{2^2}+ &\dfrac{3\log_{10}{2}}{2^3}+&\cdots \\ \dfrac{1}{2}S&=&&\dfrac{\log_{10}{2}}{2^2}+&\dfrac{2\log_{10}{2}}{2^3}+ &\cdots &\\ \end{array} \] の辺々を引き算すると， \begin{align} \dfrac{1}{2}S&=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\log_{10}{2}}{2^k}= \log_{10}{2} \dfrac{1-\displaystyle\lim_{t \to \infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t-1}}{1-\dfrac{1}{2}}\\[2ex] &=2\log_{10}{2} \end{align} したがって，収束しその値は，$4\log_{10}{2}$ である．
【解答終】
【メモ】
本問は次のような賭けに対する期待効用の計算問題である． 問１は受け取る金額 $x$ に対する効用関数が $u(x)=x$ の場合を，問２は $u(x)=\sqrt{x}$ 円の場合を計算したものである．この賭けへの参加料はいくらなら支払うかという問に，期待効用の観点から答えると問１は期待値で答えることになり、その結果，参加費はどんなに大きくても合理的であるという，われわれの直感とことなる結果になる．そのためセントペテルスブルグのパラドックス（逆説）とよばれる．これに対する，説破が問２と問３である．収穫逓減な効用関数 $u(x)=\sqrt{x}$，$u(x)=\log_{10}{x}$ を考えることで，期待効用は有限の値になる．
【メモ終】
【Further Reading】
高橋信夫『組織の中の決定理論』朝倉書店（1993）
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