経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
双曲割引による時間不整合性の発現.
（作成 2015.11.23）
【問】 利子率を$r$とする．$V_0 < V_1, V_0 > \dfrac{V_1}{(1+\Delta Tr)}$な（$\Delta T$期後の$V_1$円より，現在の$V_0$円を選好する）双曲割引者を考える．選好が逆転する時間$T$の範囲を求めなさい．
【解答】
\begin{eqnarray*}
\dfrac{V_0}{(1+Tr)}<\dfrac{V_1}{(1+Tr+\Delta Tr)}&\Leftrightarrow&\dfrac{1+Tr+\Delta Tr}{1+Tr}<\dfrac{V_1}{V_0}\\[2mm]
&\Leftrightarrow&1+\frac{\Delta Tr}{1+Tr}<\dfrac{V_1}{V_0}\\[2mm]
&\Leftrightarrow&\frac{\Delta Tr}{1+Tr}<\dfrac{V_1-V_0}{V_0}\\[2mm]
&\Leftrightarrow&\frac{1+Tr}{\Delta Tr}>\dfrac{V_0}{V_1-V_0}\\[2mm]
&\Leftrightarrow&Tr>\frac{\Delta TrV_0}{V_1-V_0}-1=\frac{(1+\Delta Tr)V_0-V_1}{V_1-V_0}．\\[2mm]
\end{eqnarray*}
$V_1-V_0>0,(1+\Delta Tr)V_0-V_1>0$なので，もとめる範囲は，
\[
T>\dfrac{(1+\Delta Tr)V_0-V_1}{r(V_1-V_0)}．
\]
つまり，時間が遠くなると逆転現象が起きる（時間不整合）．
【解答終】
【メモ】
指数割引だと時間不整合は起こらない．実際，$T$時間経過後の現在価値は
\begin{eqnarray*}
\dfrac{V_0}{(1+r)^T}&>&\frac{V_1}{(1+r)(1+r)^T}\\[2mm]
&>&\frac{V_1}{(1+r)^{T+1}}.
\end{eqnarray*}
が成り立つからだ．
【メモ終】
【Further Reading】
Wikipeadia Hyperbolic discounting
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