経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

『経出る』4.5節 差分方程式はワークブックではほとんど扱わなかったので．（『経出る』例題4.9） （作成 2015.12.26）

【問】　次の差分方程式（漸化式）で定められる数列の一般項を求めなさい．また，$c$の値に応じて，数列 $a_t$ の極限 $\displaystyle \lim_{t \to \infty}a_t$ はどのようになるか，求めなさい．

1. $\left\{ \begin{align} &a_{t+1}=(a_t)^2\\ &a_1=c. \end{align} \right.$


2. $\left\{ \begin{align} &a_{t+1}=\sqrt{a_t}\\ &a_1=c.　ただし c>0． \end{align} \right.$

1. 両辺の対数をとると，$\log_{}{a_{t+1}}=2\log_{}{a_{t}}$．したがって， $\log_{}{a_{t}}=2^{t-1}\log_{}{c}$．ゆえに $a_{t}=c^{2^{t-1}}$．$t \to \infty$ のとき，$2^{t-1}\to \infty$ なので， $\lim_{t \to \infty}a_t= \left\{ \begin{align} \infty & \quad c > 1 のとき\\ 1 &\quad c = 1 のとき\\ 0 &\quad -1 < c < 1 のとき\\ -\infty &\quad -1 > c のとき\\ \end{align} \right.$


2. 両辺の対数をとると，$\log_{}{a_{t+1}}=\dfrac{1}{2}\log_{}{a_{t}}$．したがって， $\log_{}{a_{t}}=\dfrac{1}{2^{t-1}}\log_{}{c}$．ゆえに $a_{t}=c^{\frac{1}{2^{t-1}}}$．$t \to \infty$ のとき，$\dfrac{1}{2^{t-1}}\to 0$ なので， $\lim_{t \to \infty}a_t= \left\{ \begin{align} 1& \quad c > 0 のとき\\ 0 &\quad c = 0 のとき\\ \end{align} \right.$