経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

1階の線形差分方程式 （作成 2016.02.29）

【問】　次の差分方程式（漸化式）で定められる数列$a_t$の一般項を求めなさい．また，数列$a_t$ が収束する場合はどんなときか述べ，その極限を求めなさい． \[ a_{t+1}=ba_{t}+c \]

1. $b=1$のとき．$a_{t+1}=a_{t}+c$ は等差数列になるので， \[ a_{t}=a_0+ct \]


2. $b\neq1$のとき．$a_{t+1}=ba_{t}+c$ (1). ここで，方程式 $a=ba+c$ (2) を解く． $\displaystyle a=\frac{c}{1-b}$. 　$(1)-(2)$を計算すると， \begin{align} a_{t+1}-a&=b(a_t-a) \\ \\ （∴）a_{t}-a&=b^t(a_0-a)． \end{align} したがって，$\displaystyle a_t=b^t(a_0-\frac{c}{1-b})+\frac{c}{1-b} =b^ta_0+c\bigl(\frac{1-b^t}{1-b}\bigr)$.


3. $-1< b<1$ のとき数列 $a_t$ は収束し，極限は$\displaystyle \frac{c}{1-b}$