経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
1階の線形差分方程式と積立
（作成 2016.03.10）
【問】 利子率を $r=0.05$ とする．毎年 $100$ 万円を積み立てて預け入れる． $10$ 年目に預け入れた直後の時点（期初）での口座残高を求めなさい．
【解答】
各年度の期初の口座残高を $a_t$ であらわすと，この数列が満たす差分方程式は
\[
a_{t+1}=(1.05)a_{t}+100, \quad a_0=100
\]
となる．定常解は
\[
a=(1.05)a+100, \quad \Rightarrow \quad a=-2000
\]
なので，差分方程式の解は
\[
a_t=(1.05)^t(2100)-2000.
\]
$t=10$ を代入して $12,577,892$ 円．
【解答終】
【メモ】
『経出るWB』例題4.11の別解
【メモ終】
【Further Reading】
M. Hoy et. al “Mathematics for Economics: second edition” The MIT Press（2001）Example 18.5
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