経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

費用関数が$x^2$に比例する企業．

【『経出る』の問題（例題5.1）】
ある財を生産する企業の費用関数が $C(x)=x^2$ であるとする．この企業は市場価格を所与として生産量を決める（つまり，プライス・テイカーであるとする）．．．以下省略．

$x^2$に比例する費用関数って現実的な問題としてあるの？
これに答えるために（半ば強引に作った）机上の問題（笑）

【問１】　コンビニチェーン「ハイソン」は拠点都市の中心から半径$x$ kmをカバーするように，店舗を配置すると，$px$だけ売上があるという．一方コストは面積に比例して$qx^2$ だけかかるという．「ハイソン」の最適な配置半径を求めなさい．

【解答】

利潤を ${\pi}(x)$ とおくと， \[ {\pi}(x)=px-qx^2 \] と書ける．$1$階条件は， \[ 0={\pi}^{\prime}(x)=p-2qx． \] これを解いて，$x=\dfrac{p}{2q}$ が最適な配置半径．

【解答終】

【問２】　ビールの卸売業者Ａ社では．「３分の１ルール」に従うと，返品率が出荷数$x$に比例した$rx$になる（従って返品数は$rx^2$）．出荷コストを$c_1$, 返品コストを$c_2$, 価格を$p$としたとき，最適な出荷数を求めなさい．

【解答】

収入は $px$ で費用は $C(x)=c_1x+c_2rx^2$ なので，そのときの利潤を ${\pi}(x)$ とおくと， \[ {\pi}(x)=px-c_1x-c_2rx^2 \] と書ける．$1$階条件は， \[ 0={\pi}^{\prime}(x)=p-c_1-2c_2rx． \] これを解いて，$x=\dfrac{p-c_1}{2c_2r}$ が最適な出荷数．

【解答終】

【メモ】

問１はコンビニ・チェーンの「ドミナント戦略」を意識して作った問題．経済学的に妥当な問題かどうかはさておき（笑）この他にも，面積に比例するコストを考えれば，費用関数が$x^2$に比例する例はいくつか作れそう．
「３分の１ルール」については，NHKのクローズアップ現代「このままでは“もったいない”　〜動き出した食品ロス対策〜」（2013.11.25放送）を参考にしてください．

【メモ終】

ふろく（２）応用問題一覧へ