経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
価格弾力性とマークアップ率（2017.03.21作成）
『経出る』練習問題5.12を『ワークブック』例題5.17を使って説明．
ある財をある企業が独占的に供給している．この財の需要関数は$D(p)=a-bp$であり，費用関数は$C(x)=cx$である．
(1) 独占価格を求めなさい．
(2) 独占価格における需要の価格弾力性 $e_d(p^*)$ を求めなさい．
(3) 独占価格 $p^*$におけるマークアップ率 $\dfrac{p^*-c}{p^*}$ を求めなさい．
【解答】
(1) この企業の利潤を$p$の関数で表すと，${\pi}(p)=p(a-bp)-c(a-bp)$ なので，
\[
{\pi}^{\prime}(p)=a-bp-bp+bc=-2bp+a+bc
\]
となる．${\pi}^{\prime}(p)=0 ⇔ p=\dfrac{a+bc}{2b}$.
独占価格は $p^*=\dfrac{a+bc}{2b}$．
(2) $D^{\prime}(p)=-b$なので，
\[
e_d(p^*)=D^{\prime}(p^*)\dfrac{p^*}{D(p^*)}=\dfrac{-bp^*}{a-bp^*}.
\]
ここで，$-bp^*=-b\dfrac{a+bc}{2b}=-\dfrac{a+bc}{2}$，
$a-bp^*=a-b\dfrac{a+bc}{2b}=\dfrac{a-bc}{2}$ なので，
\[
e_d(p^*)=\dfrac{-bp^*}{a-bp^*}=-\dfrac{a+bc}{2}\dfrac{2}{a-bc}
=-\dfrac{a+bc}{a-bc}.
\]
(3) $p^*-c=\dfrac{a+bc}{2b}-c=\dfrac{a-bc}{2b}$ なので，
\[
\dfrac{p^*-c}{p^*}=\dfrac{a-bc}{2b}\dfrac{2b}{a+bc}=\dfrac{a-bc}{a+bc}.
\]
【解答終】
【メモ】
『経出る』での解説通り，$\dfrac{p^*-c}{p^*}=-\dfrac{1}{e_d(p^*)}$．
【メモ終】
【Further Reading】
奥野正寛『ミクロ経済学』東京大学出版会（2008）
Hal R. Varian, “Intermediate Microeconomics”, W.W. Norton & Company（2010）
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