経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
損益分岐点価格（2017.03.27作成）
『経出る』練習問題5.14，5.18と『ワークブック』5.2.4の追加説明．
ある企業の利潤が ${\Pi}(p,x)=px-C(x)$ であるとする．
(1) $\bar{p}=AC(\bar{x})$（$AC$ 曲線の最小点） ならば
${\Pi}(\bar{p},\bar{x})=0$ となることを示しなさい．
(2) $p>\bar{p}$ ならば，$\max_{x}{\Pi}(p,x)>0$ となることを示しなさい．
(3) $p<\bar{p}$ ならば，$\max_{x}{\Pi}(p,x)<0$ となることを示しなさい．
【解答】
(1)
\[
{\Pi}(\bar{p},\bar{x})=\bar{p}\bar{x}-C(\bar{x})
=\bar{x}\Bigl(\bar{p}-\dfrac{C(\bar{x})}{\bar{x}}\Bigr)
=\bar{x}\Bigl(\bar{p}-AC(\bar{x})\Bigr)=0．
\]
(2)
\[
\max_{x}{\Pi}(p,x)\geq {\Pi}(p,\bar{x})=p\bar{x}-C(\bar{x})
=\bar{x}\Bigl(p-\dfrac{C(\bar{x})}{\bar{x}}\Bigr)
=\bar{x}\Bigl(p-AC(\bar{x})\Bigr)
=\bar{x}(p-\bar{p})>0．
\]
(3) 任意の $x$ に対し $\bar{p}< \dfrac{C(x)}{x}$ なので，
\[
{\Pi}(p,x)=px-C(x)
=x\Bigl(p-\dfrac{C(x)}{x}\Bigr)
\leq x\Bigl(p-\bar{p}\Bigr)＜0．
\]
【解答終】
なんか，あやしい（笑）
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