経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
logconvex関数（2017.03.29作成）
$f(x) >0$ について，$\log{f(x)}$ が凸関数となるとき，logconvex という．
微分可能な関数 $f(x) >0$ がlogconvexならば，凸関数となることを示しなさい．
【解答】
$g(x)=\log_{}{f(x)}$ とおくと，
\[
\begin{align}
g^{\prime}(x)=&\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)},\\
g^{\prime\prime}(x)=&\dfrac{f^{\prime\prime}(x)f(x)-f^{\prime}(x)^2}{f(x)^2}.
\end{align}
\]
$g(x)$ は凸関数なので，$g^{\prime\prime}(x)\geq 0$ がいえる．したがって
$f^{\prime\prime}(x)f(x)\geq f^{\prime}(x)^2 >0$ から $f^{\prime\prime}(x)>0$ がいえるので，$f(x)$ は凸関数．
【解答終】
$f(x)$ は単調増加な凸関数 $x\mapsto e^x$ と $\log_{}{f(x)}$ の合成関数とみれば，微分を使わなくても結論は直ちにしたがう．
【Further Reading】
J.V. Tiel, ‘Convex Analysis, An Introductory Text’, John Wiley and Sons（1984）．
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