経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

最適化と算術平均，幾何平均，調和平均

(1)　$N$個のデータ，$x_1, x_2, \ldots , x_N$に対し． $m(x)=(x-x_1)^2+(x-x_2)^2+\cdots +(x-x_N)^2$とおく． $m(x)$の最小点を求めなさい．
(2)　$N$個のデータ，$x_1>0, x_2>0, \ldots , x_N>0$に対し． $g(x)=(\log_{}{x}-\log_{}{x_1})^2+(\log_{}{x}-\log_{}{x_2})^2 +\cdots (\log_{}{x}-\log_{}{x_N})^2$とおく． $g(x)$の$x>0$での最小点を求めなさい．
(3)　$N$個のデータ，$x_1, x_2, \ldots , x_N$に対し． $h(x)=\Bigl(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_1}\Bigr)^2+ \Bigl(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_1}\Bigr)^2+\cdots + \Bigl(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_N}\Bigr)^2$とおく． $h(x)$の最小点を求めなさい．

1. \[ m^{\prime}(x)=2(x-x_1)+2(x-x_2)+\cdots +2(x-x_N)= 2\Bigl(Nx-\sum_{i=1}^{N}x_i\Bigr) \] なので，$1$解の条件から，$m=\dfrac{\sum_{i=1}^{N}x_i}{N}$ （$x_1, x_2, \ldots , x_N$の算術平均）で最小となる．


2. \begin{align} g(x)&=\Bigl(\log_{}{\dfrac{x}{x_1}}\Bigr)^2+ \Bigl(\log_{}{\dfrac{x}{x_2}}\Bigr)^2+ \cdots +\Bigl(\log_{}{\dfrac{x}{x_N}}\Bigr)^2\\ g^{\prime}(x)&=\dfrac{2}{x}\log_{}{\dfrac{x}{x_1}}+ \dfrac{2}{x}\log_{}{\dfrac{x}{x_2}}\cdots \dfrac{2}{x}\log_{}{\dfrac{x}{x_N}}= \dfrac{2}{x}\log_{}{\dfrac{x^N}{x_1x_2\cdots x_N}} \end{align} なので，$1$階の条件から，$\dfrac{x^N}{x_1x_2\cdots x_N}=1$． 従って，$g=\sqrt[N]{x_1x_2\cdots x_N}$ （$x_1, x_2, \ldots , x_N$の幾何平均）で最小となる．


3. \begin{align} h^{\prime}(x)&=\dfrac{-2}{x^2}\Bigl(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_1}\Bigr)+ \dfrac{-2}{x^2}\Bigl(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_2}\Bigr)+\cdots + \dfrac{-2}{x^2}\Bigl(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_N}\Bigr)\\ &=\dfrac{-2}{x^2}\Bigl(\dfrac{N}{x}-\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_N}\Bigr) \end{align} なので，$1$階の条件から，$\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{N}\Bigl(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots \dfrac{1}{x_N}\Bigr)$ （$x_1, x_2, \ldots , x_N$の調和平均の逆数）で最小となる．