債券は利子率が変動することによって，債券価格も変動するリスクにさらされる．本問は利付債についてそのリスクの指標であるデュレーションがどうあれば，利子率の変動リスクから逃れうるのかを示す．
Time Line Technique を次のように改変したものの，最右辺の和を価格$P$で割ったものをマコーレーのボンド・デュレーションといい $D$ であらわす． \[ \begin{array}{ccccc} 年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\times 年\hspace{4mm}\\ \hline 0 & -P &/ 1 & 0 & 0\\ 1 &CF_1& / (1+r)^1& \dfrac{CF_1}{(1+r)^1}& \dfrac{1\times CF_1}{(1+r)^1}\\ 2 &CF_2& / (1+r)^2& \dfrac{CF_2}{(1+r)^2}& \dfrac{2\times CF_2}{(1+r)^2}\\ \vdots &\vdots& \vdots&\vdots &\vdots \\ n &CF_n& / (1+r)^n & \dfrac{CF_n}{(1+r)^n}& \dfrac{n\times (CF_n)}{(1+r)^n}\\ \end{array} \] したがって， \begin{align} D&=\left\{\frac{CF_1}{(1+r)^1}+\frac{2CF_2}{(1+r)^2}+\cdots +\frac{nCF_n}{(1+r)^n}\right\}/P=\dfrac{\sum_{k=1}^{n}kPV_k}{P} \end{align} である（$PV_k$は$k$年のCFの現在価値）． \begin{align} P&=P(r)=\frac{CF_1}{(1+r)^1}+\frac{CF_2}{(1+r)^2}+\cdots +\frac{CF_n}{(1+r)^n}\\ P^{\prime}(r)&=-\frac{CF_1}{(1+r)^2}-\frac{2CF_2}{(1+r)^3}-\cdots -\frac{nCF_n}{(1+r)^{n+1}} \end{align} であることから， \[ D=-\dfrac{P^{\prime}(r)}{P(r)}(1+r) \] となる．【問】 債券$B$の$n$年後の将来価値$FV$が，利子率$r$の変動にさらされない条件を求めなさい．