経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

債券価格曲線の形状

【問】　債券価格$P(r)$は利率$r$の関数として，減少凸関数であることを示しなさい．

【解答】

　クーポン$C$，額面$F$，残存期間$n$の利付債は，利率$r$に対しその価格$P(r)$は，次式の通りになる． \[ P(r)=\dfrac{C}{(1+r)}+\dfrac{C}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{C+F}{(1+r)^n} \] 微分すると， \[ P^{\prime}(r)=-\dfrac{C}{(1+r)^2}-\dfrac{2C}{(1+r)^3}-\cdots -\dfrac{n(C+F)}{(1+r)^{n+1}} < 0 \] なので，単調減少である．さらに$2$階微分すると， \[ P^{\prime\prime}(r)=\dfrac{(1\times 2)C}{(1+r)^3}+\dfrac{(2\times 3)C}{(1+r)^4}+\cdots +\dfrac{n(n+1)(C+F)}{(1+r)^{n+2}} > 0 \] なので，凸関数である．

【解答終】

【メモ】

割引債に対しては$C=0$とすれば，同じ結論が得られる．

【メモ終】

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