経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

生産者行動（単一財の場合）

【問】　投入量$x$に対する生産者の生産関数を$y=f(x)$とする．また，生産物の価格を$p$，投入物の価格を$q$とする．
1.　利潤$\pi (x)=pf(x)-qx$の最大化の$1$階条件を求めなさい．
2.　$f(x)=\sqrt{x}$に対して，最適解を求めなさい．

1. ${\pi}^{\prime}(x)=pf^{\prime}(x)-q$より，$1$階条件は \begin{align} pf^{\prime}(x)&=q \tag{1}\\ f^{\prime}(x)&=\dfrac{q}{p} \tag{2} \end{align} となる．
2. $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$なので，(2)式から， \begin{align} \dfrac{1}{2\sqrt{x}}&=\dfrac{q}{p}\\ \sqrt{x}=\dfrac{p}{2q}\\ x=\dfrac{p^2}{4q^2} \end{align} であり，このとき \begin{align} y=f(x)&=\sqrt{\dfrac{p^2}{4q^2}}\\ &=\dfrac{p}{2q} \end{align} \begin{align} \pi (x)&=p\dfrac{p}{2q}-q\dfrac{p^2}{4q^2}\\ &=\dfrac{p^2}{2q}-\dfrac{p^2}{4q}\\ &=\dfrac{p^2}{4q} \end{align} となる．

1. 本問は， \begin{align} \max_{x,y}& 　py-qx\\[2ex] s.t.&　y=f(x) \end{align} として，ラグランジュ乗数法を用いても解ける．
2. $x=x(p,q)$を生産物供給関数，$y=y(p,q)$を生産要素需要関数という．