経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
商の微分と単調性
【問】 ともに$0$ではない，微分可能な関数$f(x), g(x)$に対し，
$\dfrac{f(x)}{g(x)}$が単調増加ならば，
$\dfrac{g(x)}{f(x)}$は単調減少であることを示しなさい．
【解答】
$\dfrac{f(x)}{g(x)}$の単調性から，$\Bigl(\dfrac{f(x)}{g(x)}\Bigr)^{\prime}>0$である．従って，商の微分法から，
\begin{align}
\Bigl(\dfrac{f(x)}{g(x)}\Bigr)^{\prime}
&=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{g(x)^2}>0
\end{align}
より，$f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)>0$が分かる．一方
\begin{align}
\Bigl(\dfrac{g(x)}{f(x)}\Bigr)^{\prime}
&=\dfrac{g^{\prime}(x)f(x)-g(x)f^{\prime}(x)}{f(x)^2}<0
\end{align}
なので，$\dfrac{g(x)}{f(x)}$は単調減少である．
【解答終】
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