経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
凸関数の合成
【問】 $f(x), g(x)$を凸関数とし，$f(x)$を単調増加関数とする．このとき，合成関数$f\bigl(g(x)\bigr)$も凸関数になることを示しなさい．
【解答】
$g(x)$の凸性から,
\[
g(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda g(x) +(1-\lambda )g(y)
\]
であるので，$f(x)$の単調性と凸性から，
\begin{align}
f\bigl(g(\lambda x+(1-\lambda )y)\bigr)&\leq
f\bigl(\lambda g(x) +(1-\lambda )g(y)\bigr)\\
&\leq \lambda f\bigl(g(x)\bigr) +(1-\lambda )f\bigl(g(y)\bigr)
\end{align}
となる．
【解答終】
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