経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
合成関数の微分法と限界消費性向
【問】 家計の総支出額を$C$とする．また可処分所得（税引後所得）を
$Y_d$とおくと
\[
C=f(Y_d),
\]
であるとする．可処分所得$Y_d$は総所得$Y$と租税関数$T(Y)$を用いて，
$Y_d(Y)=Y-T(Y)$
と書けるものとする．このとき，限界消費性向$C^{\prime}(Y)$を求めなさい．
【解答】
\[
C(Y)=f(Y_d)=f(Y-T(Y))
\]
なので，合成関数の微分法から，
\[
C^{\prime}(Y)=f^{\prime}(Y_d)(1-T^{\prime}(Y))
\]
となる．
【解答終】
【メモ】
限界消費性向（$Y$の変化がもたらす，消費量の変化）が$C^{\prime}(Y)$なので，
限界税率$T^{\prime}(Y)$が低いほど，限界消費性向は大きくなる．
【メモ終】
【Further Reading】
浦田・神谷・古屋『経済学を学ぶためのはじめての微分法』同分館出版（2017）
武隈『マクロ経済学の基礎理論』 新世社（1998）
参考
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