経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
収入と弾力性
独占企業を考える．
収入は$R(x)$，費用は$C(x)$であるとする．逆需要関数を$p(x)$とする．
弾力性を
$R(x)=p(x)x$であることから
\[
R^{\prime}(x)=p(x)+p^{\prime}(x)x=p(x)\Bigl(1+\dfrac{xp^{\prime}(x)}{p(x)}\Bigr)
\]
\[
{\epsilon}=\dfrac{p(x)}{xp^{\prime}(x)}
\]
を弾力性とすると，
\[
R^{\prime}(x)=p(x)\Bigl(1+\dfrac{1}{{\epsilon}}\Bigr)
\]
であることに注意する．この時利潤最大化を達成する$x^*$に対し，
\[
\epsilon < -1
\]
であることを示せ．
【解答】
最大化関数は
\[
{\pi}(x)=R(x)-C(x)
\]
なので
$1$階条件から，
\[
R^{\prime}(x^*)-C^{\prime}(x^*)=0
\]
であるので
\[
R^{\prime}(x^*)=C^{\prime}(x^*)
\]
であるが，$C^{\prime}(x^*)>0$であるので，
\[
R^{\prime}(x^*)=p(x)\Bigl(1+\dfrac{1}{{\epsilon}}\Bigr)>0
\]
より，$1+\dfrac{1}{{\epsilon}}>0$，即ち$\dfrac{1}{{\epsilon}}>-1$．
$\epsilon < 0$なので，$1<-{\epsilon}$となり，結果$\epsilon < -1$が導かれる．
【解答終】
【Further Reading】
M. Hoy , J Livernois, C. McKenna, R Rees and T. Stengos, Mathematics for Economics second edition,
The MIT Press（2001）
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