経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
税収最大化
財市場を考える．
需要曲線が$D(p)=a_0-a_1p$，供給曲線が$S(p)=bp$であるとする．
単位あたりの税収を$t$円とした時，政府の税収最大化条件を求めなさい．
【解答】
税を考えない場合，市場均衡条件は$D(p)=S(p)$より，
\begin{eqnarray*}
p^*&=&\dfrac{a_0}{a_1+b}\\
D^*&=&S^*=a_0-a_1p^*=a_0-\dfrac{a_1a_0}{a_1+b}=\dfrac{a_0b}{a_1+b}
\end{eqnarray*}
税が課せられると供給者の受取額がが$p-t$となるので，市場均衡条件は$D(p)=S(p-t)$となって，
\begin{eqnarray*}
\hat{p}&=&\dfrac{a_0}{a_1+b}+\dfrac{b}{a_1+b}=p^*+\dfrac{b}{a_1+b}\\
\hat{D}&=&S^*=a_0-a_1(p^*+\dfrac{b}{a_1+b})=a_0-a_1p^*-\dfrac{a_1bt}{a_1+b}
=D^*-\dfrac{a_1bt}{a_1+b}
\end{eqnarray*}
従って政府の税収は，
\[
T(t)=\hat{D}(t)t=D^*t-\dfrac{a_1bt^2}{a_1+b}
\]
となり，$1$階条件
\[
T^{\prime}(t)=D^*-\dfrac{2a_1bt}{a_1+b}=0
\]
より，
\[
t=D^*\dfrac{a_1+b}{2a_1b}
\]
が得られる．
なお，
\[
T^{\prime\prime}(t)=-\dfrac{2a_1b}{a_1+b}<0
\]
なので，ここで最大であることも確かめられる．
【解答終】
【Further Reading】
M. Hoy , J . Livernois, C. McKenna, R Rees and T. Stengos, Mathematics for Economics second edition,
The MIT Press（2001）
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