経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

$f(x)=x\left(\dfrac{a}{x+1}\right)^2$ の増減．

【問】 $x \geq 0$ とする．関数 $f(x)=x\left(\dfrac{a}{x+1}\right)^2$ の増減を調べなさい．

• 微分する． \begin{align} f^{\prime}(x)&=\left(\dfrac{a}{x+1}\right)^2+ x\times 2\left(\dfrac{a}{x+1}\right)\times \dfrac{-a}{(x+1)^2}\\[2ex] &=\left(\dfrac{a}{x+1}\right)^2\left(1-\dfrac{2x}{x+1}\right)\\[2ex] &=\left(\dfrac{a}{x+1}\right)^2\left(\dfrac{1-x}{x+1}\right)． \end{align}


• $1$ 階条件．$x=1$．


• 増減表． \[ \begin{array}{c|c|c|c} x & x < 1 & 1 & 1 < x \\\hline f^{\prime}(x)&+&0&-\\\hline f(x)& \nearrow & 極大 & \searrow \end{array} \]


• グラフ．