経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
交差価格弾力性
$X$財の需要の価格弾力性を$\displaystyle \dfrac{\Delta D_X(P_X)}{D_X(P_X)}/\dfrac{\Delta P_X}{P_X}$，
$Y$財の需要の価格弾力性を$\displaystyle \dfrac{\Delta D_Y(P_Y)}{D_Y(P_Y)}/\dfrac{\Delta P_Y}{P_Y}$
とし，$X$財と$Y$財の交差価格弾力性を$\displaystyle \dfrac{\Delta D_X(P_X)}{D_X(P_X)}/\dfrac{\Delta P_Y}{P_Y}$
とする．
$X$財の価格弾力性が$-0.75$，$X$財と$Y$財の交差価格弾力性が$-0.9$であるとする．
$Y$財の価格が$10\%$値上がりした場合，$X$財の需要量が変わらないためには，何が起きなければ
ならないだろうか．
【解答】
\[
\displaystyle \dfrac{\Delta D_X(p)}{D_X(p)}/\dfrac{\Delta P_Y}{P_Y}=-0.9
\]
で，分母は$10\%$値上がりしていることから，
\[
\displaystyle \dfrac{\Delta D_X(P_X)}{D_X(P_X)}/0.1=-0.9
\]
となる．
従って，
\[
\dfrac{\Delta D_X(P_X)}{D_X(P_X)}=-0.09
\]
となる．つまり価格変化に応じて$X$財の需要は$9\%$減る．
\[
\dfrac{\Delta D_X(P_X)}{D_X(P_X)}/\dfrac{\Delta P_X}{P_X}=-0.75
\]
であるが，$X$財の需要を$9\%$増やさなければならないので，$\displaystyle \dfrac{\Delta D_X(p)}{D_X(p)}=0.09$を代入して，
\[
\dfrac{\Delta P_X}{P_X}=\dfrac{0.09}{-0.75}=-0.12
\]
となる．従って$X$財は$12\%$値下がりしなければならない．
【解答終】
【Further Reading】
スティーブン・レヴィット，オースタン・グールズビー，チャド・サイヴァーソン
『レヴィット ミクロ経済学 基礎編』東洋経済新報社（2017）
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