経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
凹関数・凸関数
【『経出る』命題６（Second Derivative Test）】
(1) 関数 $f$ が常に $f^{\prime\prime}(x) \leq 0$ を満たすとき，$f$ は凹関数である．
(2) 関数 $f$ が常に $f^{\prime\prime}(x) \geq 0$ を満たすとき，$f$ は凸関数である．
【問】 Second Derivative Test を使って以下の関数が凹関数なのか凸関数なのか調べなさい．
(1) $f(x)=\log_{}{x}（x > 0）$
(2) $f(x)=e^{x}$
(3) $f(x)=e^{x^2}$
(4) $f(x)=x^s（x > 0）$
【解答】
(1) $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}$，$f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}< 0$ より，凹関数．
(2) $f^{\prime}(x)=e^x$，$f^{\prime\prime}(x)=e^x > 0$ より，凸関数．
(3) $f^{\prime}(x)=2xe^{x^2}$，$f^{\prime\prime}(x)=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}
=2e^{x^2}(1+2x^2) > 0$ より，凸関数．
(4) $f^{\prime}(x)=sx^{s-1}$，$f^{\prime\prime}(x)=s(s-1)x^{s-2}$ より，次のように場合分けできる．
\begin{align}
1 < s のとき & 凸関数\\[2ex]
0 < s < 1 のとき & 凹関数\\[2ex]
s < 0 のとき & 凸関数\\[2ex]
\end{align}
【解答終】
【Further Reading】
福島雅夫『非線形最適化の基礎』朝倉書店（2001）
渡辺隆一『凸解析』培風館（昭和61年）
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