経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
Cobb-Douglas技術における供給関数
$0< {\alpha} <1$とし，次の問題を考える．
\[
\max_{x} px^{\alpha}-wx
\]
このとき，供給関数$S(p,w)$を求めよ．
【解答】
$1$階条件から，
\[
p{\alpha}x^{{\alpha}-1}-w=0
\]
なので，
\[
x=\Bigl(\dfrac{w}{p{\alpha}}\Bigr)^{\frac{1}{{\alpha}-1}}
\]
$2$階条件は
\[
p{\alpha}({\alpha}-1)x^{{\alpha}-2}<0
\]
なのでこの点で最大である．
従って，供給関数は
\[
S(p,w)=\Bigl(\dfrac{w}{p{\alpha}}\Bigr)^{\frac{{\alpha}}{{\alpha}-1}}
\]
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
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