経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
利潤関数の性質
価格$p$に対し，次の利潤関数を考える．
\[
{\pi}(p)=\max_{y} py
\]
このとき，次の性質を示しなさい．
(1) $p^{\prime}\geq p$ ならば，${\pi}(p^{\prime})\geq {\pi}(p)$.
(2) $k>0$に対し，${\pi}(kp)=k{\pi}(p)$
(3) ${\pi}(p)$は$p$の凸関数．
【解答】
(1) $p^{\prime}y^{\prime}={\pi}(p^{\prime})$, $py={\pi}(p)$とする．このとき，
\begin{align*}
p^{\prime}y^{\prime}&\geq p^{\prime}y\\
p^{\prime}y&\geq py
\end{align*}
なので，${\pi}(p^{\prime})\geq {\pi}(p)$．
(2) $py={\pi}(p)$とする．このとき，任意の$y^{\prime}$に対し，
$py\geq py^{\prime}$．従って，$kpy\geq kpy^{\prime}$．
よって，
\[
k{\pi}(p)=kpy\geq \max_{y}kpy^{\prime}={\pi}(kp)\geq kpy
\]
となり，$k{\pi}(p)=kpy={\pi}(kp)$.
(3) $p, p^{\prime}$, $0\leq t \leq 1$に対し，$p^{\prime\prime}=tp+(1-t)t^{\prime}$とする．
また，$py={\pi}(p)$, $p^{\prime}y^{\prime}={\pi}(p^{\prime})$,
$p^{\prime\prime}y^{\prime\prime}={\pi}(p^{\prime\prime})$とする．このとき，
\[
{\pi}(p^{\prime\prime})=p^{\prime\prime}y^{\prime\prime}=(tp+(1-t)t^{\prime})y^{\prime\prime}
\leq tpy+(1-t)p^{\prime}y^{\prime}=t{\pi}(p)+(1-t){\pi}(p^{\prime}).
\]
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
ふろく（２）応用問題 一覧へ