経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
短期のCobb-Douglas費用関数
【問】 価格$w_1, w_2$，生産量$y$に対し，
次の問題を考える．
\begin{align*}
c(w_1,w_2,y)=& \min_{x_1,x_2}w_1x_1+w_2k\\[2ex]
s.t.& y=x_1^{\alpha}k^{1-{\alpha}}
\end{align*}
(1) 最適生産量$x_1$を求めなさい．
(2) 費用関数$c(w_1,w_2,y,k)$を求めなさい．
(3) 短期の平均費用$c(w_1,w_2,y,k)/y$を求めなさい．
(4) 短期の平均可変費用を求めなさい．
(5) 短期の限界費用を求めなさい．
【解答】
(1) 制約式から
\[
x_1=(yk^{1-{\alpha}})^{\frac{1}{\alpha}}
\]
(2)
\[
c(w_1,w_2,y,k)=w_1(yk^{1-{\alpha}})^{\frac{1}{\alpha}}+w_2k
\]
(3)
\[
AC=w_1\Bigl(\dfrac{y}{k}\Bigr)^{\frac{1-{\alpha}}{\alpha}}+\dfrac{w_2k}{y}
\]
(4)
\[
AVC=w_1\Bigl(\dfrac{y}{k}\Bigr)^{\frac{1-{\alpha}}{\alpha}}
\]
(5)
\[
MC=\dfrac{w_1}{\alpha}\Bigl(\dfrac{y}{k}\Bigr)^{\frac{1-{\alpha}}{\alpha}}
\]
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
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