経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
CAPM 証券市場線の導出
【問】 $M$をマーケットポートフォリオ，$S_j$を個別銘柄とし，
それぞれの平均，標準偏差を$r_M, r_j$, ${\sigma}_M,{\sigma}_j$,共分散を$\mathrm{cov}(R_M,R_j)$とする．${\rho}$を相関係数とする．
また無リスク資産の利子率を$r$とする．
このときシャープレシオが最大になるという条件から
証券市場線を導出しなさい．
【解答】
次のポートフォリオを考える．
\[
P({\alpha})={\alpha}S_j+(1-{\alpha})M
\]
$P({\alpha})$の期待収益率を$R({\alpha})$とすると，
\begin{align*}
r({\alpha})=E[R({\alpha})]&={\alpha}r_j+(1-{\alpha})r_M \tag{1}\\
{\sigma}^2({\alpha})={\sigma}^2[R({\alpha})]&={\alpha}^2{\sigma}^2_j+2{\alpha}(1-{\alpha})\mathrm{cov}(R_M,R_j)+(1-{\alpha})^2{\sigma}^2_M \tag{2}\\
&={\alpha}^2{\sigma}^2_j+2{\alpha}(1-{\alpha}){\rho}(R_M,R_j){\sigma}_j{\sigma}_M+(1-{\alpha})^2{\sigma}^2_M \tag{3}
\end{align*}\\
超過リターンが
\[
h({\alpha})=r({\alpha})-r={\alpha}(r_j-r)+(1-{\alpha})(r_M-r) \tag{4s}
\]
なので，
シャープレシオは
\[
S({\alpha})=\dfrac{h({\alpha})}{{\sigma}({\alpha})}
\]
だがこれが$\alpha =0$で最大となればよい．
\[
S^{\prime}({\alpha})=\dfrac{h^{\prime}({\alpha}){\sigma}({\alpha})-h({\alpha}){\sigma}^{\prime}({\alpha})}{{\sigma}^2({\alpha})}
\]
であるが，(3)式から，
\[
h^{\prime}({\alpha})=(r_j-r)-(r_M-r) =r_j-r_M
\]
(3)式から
\[
2{\sigma}({\alpha}){\sigma}^{\prime}({\alpha})=2{\alpha}{\sigma}^2_j+2(1-2{\alpha}){\rho}(R_M,R_j){\sigma}_j{\sigma}_M-2(1-{\alpha}){\sigma}^2_M
\]
\[
{\sigma}({0})={\sigma}_M
\]
\[
{\sigma}^{\prime}({0})={\rho}(R_M,R_j){\sigma}_j-{\sigma}_M
\]
\[
S^{\prime}({0})=\dfrac{(r_j-r_M){{\sigma}_M}-(r_M-r)({\rho}(R_M,R_j){\sigma}_j-{\sigma}_M)}{{\sigma}^2_M}
\]
$S^{\prime}({0})=0$とすると，
\[
(r_j-r_M){{\sigma}_M}-(r_M-r)({\rho}(R_M,R_j){\sigma}_j-{\sigma}_M)=0
\]
これを整理すると
\[
r_j=r+\dfrac{{\rho}(R_M,R_j){\sigma}_j}{{\sigma}_M}(r_M-r)
\]
が得られる．
【解答終】
【Further Reading】
冨島祐充『金融数学入門』講談社ブルーバックス B-2321（2026）
今野浩『理財工学I』日科技連（1995）
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