経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
再生可能な天然資源（木）の最適伐採
【問】 再生可能な木々のストックを表す関数を$x(t)$とする．
成長の上限を$\bar{x}$とする．成長率が
\[
f(x(t))=\dfrac{d}{dt}x(t)
\]
ただし，$f(x)=x(\bar{x}-x)$で与えられているとする．利子率を$r$，販売価格を$p$とした時，木々のストックの割引現在価値が
\[
V(t)=px(t)e^{-rt}
\]
ている時，最適伐採時間を求めなさい．
【解答】
\begin{align*}
0=V^{\prime}(t)&=p\dfrac{dx(t^*)}{dt}e^{-rt^*}-rpx(t^*)e^{-rt^*}\\
&=pe^{-rt^*}[f(x(t^*))-rx(t^*)]\\
&=pe^{-rt^*}[x(t^*)(\bar{x}-x(t^*))-rx(t^*)]\\
&=pe^{-rt^*}[x(t^*)(\bar{x}-(1+r)x(t^*))]
\end{align*}
であるので，
\[
x(t^*)=\dfrac{\bar{x}}{1+r}
\]
となる$t^*$が最適伐採である．
【解答終】
【Further Reading】
B.R. ビンガー/E.ホフマン『微積分で学ぶミクロ経済学 下』シーエーピー出版（1996）
今野浩『理財工学I』日科技連（1995）
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