経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
凸関数の最小点=極小点
次の事実は，次の凸関数の極値の大域性としてよく知られている．
【問】どんな$ x, y $と $0 \leq \lambda \leq 1$ を満たすどんな
$\lambda$ に対しても
\[
f((1-\lambda )x+\lambda y) \leq (1-\lambda ) f(x) + \lambda f(y)
\]
を満たすとき，$f$ を凸関数という．いま $f$ が凸関数であるとき，極小点は最小点であることを示しなさい．
【解答】
$x^*$ を $f$ の極小点とする．どんな $y$ に対しても， $f(x^*) \leq f(y)$ となることを示せばよい．$0 \leq \lambda \leq 1$ を満たすどんな
$\lambda$ に対しても，
\[
f((1-\lambda )x^*+\lambda y) \leq (1-\lambda ) f(x^*) + \lambda f(y)
\]
$\lambda \to 0$ とすると，$x^*$ の極小性から
$f(x^*) < f((1-\lambda )x^*+\lambda y)$ となる．したがって，
\[
f(x^*) \leq (1-\lambda ) f(x^*) + \lambda f(y)．
\]
$(1-\lambda ) f(x^*) $ を左辺に移項し，両辺を $\lambda $ で割れば，
$f(x^*) < f(y)$ を得る．
【解答終】
【Further Reading】
福島雅夫『非線形最適化の基礎』朝倉書店（2001）
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