経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
凸関数の最小点=極小点
【『経出る』命題５（First Derivative Test）】
(1) 関数 $f$ が$f$ は凹関数のとき，$f^{\prime}(x^*) = 0$ ならば $f$ は $x=x^*$ で最大となる．
(2) 関数 $f$ が$f$ は凸関数のとき，$f^{\prime}(x^*) = 0$ ならば $f$ は $x=x^*$ で最小となる．
この事実は，次の凸関数の微分に関する不等式から直ちにいえる．凹関数 $f$ については $-f$ が凸関数であることから，ただの読み替え．
【問】いま $f$ が凸関数であるとき，$f^{\prime}(x^*) = 0$ ならば $f$ は $x=x^*$ で最小となることを示しなさい．
【解答】
次の不等式が成立することを示す．
\begin{align}
f(x)-f(x^*)&\geq f^{\prime}(x^*)(x-x^*) \tag{1}
\end{align}
$f(x)$ が凸関数であることから，以下の一連の不等式の変形が行える．
\begin{align}
{\lambda}f(x)+(1-{\lambda})f(x^*)&\geq f({\lambda}x+(1-{\lambda})x^*)\\[2ex]
{\lambda}\left(f(x)-f(x^*)\right)&\geq f(x^*+{\lambda}(x-x^*))-f(x^*)\\[2ex]
f(x)-f(x^*)&\geq \dfrac{\left( f(x^*+{\lambda}(x-x^*))-f(x^*)\right)(x-x^*)}{\lambda (x-x^*)} \qquad ここで \lambda (x-x^*)=\varepsilon とおく\\[2ex]
f(x)-f(x^*)&\geq \dfrac{f(x^*+{\varepsilon})-f(x^*)}{\varepsilon}(x-x^*) \qquad ここで \lambda \to 0 すなわち，\varepsilon \to 0 とすればよい．\\[2ex]
\end{align}
この不等式から，$f^{\prime}(x^*) = 0$ ならば
$f(x)-f(x^*)\geq 0(x-x^*) =0$ より，$f(x) \geq f(x^*)$ すなわち，大域的最小解であることが言える．
【解答終】
【Further Reading】
福島雅夫『非線形最適化の基礎』朝倉書店（2001）
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