経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

同一賃金の独占企業の労働者の賃金最大化

　ある独占企業では，従業員数 $L$ 人に対して，生産関数が，$x=f(L)=L^{\alpha}$，利潤が生産量 $x$ に対して，$R(x)=\log_{}{x}$であるとする．この企業は利潤を従業員で山分けするとして，次の最適化問題を解き，ひとりあたりの賃金を最大にする従業員数を求めなさい． \[ \max_{L} y=\dfrac{R(f(L))}{L} \]

【解答】

　$R(f(L))=\log_{}{L^{\alpha }}=\alpha \log{}{L}$ なので，商の微分公式から \begin{align} \Biggl(\dfrac{R(f(L))}{L}\Biggr)^{\prime}& =\dfrac{\alpha \dfrac{1}{L}L-\alpha \log_{}{L}}{L^2}\\ &=\alpha \dfrac{1-\log_{}{L}}{L^2} \end{align} したがって，1階条件から最適な従業員数は $L=e$ となる．

【解答終】

【Further Reading】

M. Hoy et. al “Mathematics for Economics: second edition” The MIT Press（2001）p.248 The Labor-Managed Firm

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