経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

資源に制約がある場合の利潤の最大化と潜在価格（端点解）（2015.11.24作成）

『経出る』p.136でさらっとスルーした端点が解になるケース．

　ある独占企業では，従業員数 $L$ 人に対して，収入が，$R(L)=10\sqrt{L}$，費用が $C(L)=N$ であるとする．この企業が雇用できる人数は$L \leq 4$であるとする．このとき次の最適化問題を解きなさい． \[ \max_{0\leq L \leq 4} \pi (L)=R(L)-C(L) \]

【解答】

　${\pi}^{\prime}(L)=\dfrac{5}{\sqrt{L}}-1=\dfrac{5-\sqrt{L}}{\sqrt{L}}$ なので，$0\leq L \leq 5$ で ${\pi}^{\prime}(L) > 0$．すなわち，$\pi (L)$は増加関数．したがって，$L=4$で最大となる．

【解答終】

【メモ】

　一般に，${\pi}(L+\Delta L)-{\pi}(L)\approx {\pi}^{\prime}(L)\Delta L$ で， ${\pi}^{\prime}(4)=\dfrac{3}{2} > 0$ なのだから，賃金が $\dfrac{3}{2}$ 以下であれば，従業員を増やすことで企業は利潤を増やすことが可能である． ${\pi}^{\prime}(4)>0$ の値を潜在価格という．

【メモ終】

【Further Reading】

M. Hoy et. al “Mathematics for Economics: second edition” The MIT Press（2001）p.270 Monopoly with Output Quota
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