経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
線形結合と基底
【問】 $\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}$,
$\boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}$,
$\boldsymbol{z}=\begin{pmatrix}z_1 \\ z_2\end{pmatrix}$
に対し，$\boldsymbol{z}$ を $\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{y}$ の線形結合で表しなさい．
【解答】
求めたいのは，次を満たす実数 ${\alpha}$, ${\beta}$．
\[
{\alpha}\boldsymbol{x}+{\beta}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{z}
\]
$\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{y}$, $\boldsymbol{z}$ を成分ごとで書き下すと
\[
{\alpha}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}
+{\beta}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}z_1 \\ z_2\end{pmatrix}
\]
すなわち，${\alpha}$, ${\beta}$ を変数とする次の連立一次方程式を解けばよい．
\begin{align}
{\alpha}x_1+{\beta}y_1&=z_1\tag{1}\\[2ex]
{\alpha}x_2+{\beta}y_2&=z_2\tag{2}\\
\end{align}
$x_1y_2 \neq x_2y_1$ のときこの方程式は次の解を持つ．
\begin{align}
{\alpha}&=\dfrac{z_1y_2-z_2y_1}{x_1y_2-x_2y_1}\\[2ex]
{\beta}&=\dfrac{z_2x_1-z_1x_2}{x_1y_2-x_2y_1}\\
\end{align}
【解答終】
【メモ】
$x_1y_2 \neq x_2y_1$ であるとき，すきなベクトル $\boldsymbol{z}$ を $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ の線形結合で表現できる．
【メモ終】
【Further Reading】
M. Hoy et al. ‘Mathematics for Economics second edition’, The MIT Press（2001）
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