経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
多期間消費モデル．【『経出る』練習問題6.5発展】
【問】 $T$期間消費モデルを考える．第0期の所得を $y_0$ ，第２期の所得を $y_2$，第T期の所得を $y_T$，利子率を $r$ とする．第１期の消費額を $c_0$，第２期の消費額を $c_2$ ，第T期の消費額を $c_T$として，ライフサイクル仮説のもとでの生涯の予算制約式を求め，ベクトルの内積で表示しなさい．
【解答】
第0期の貯蓄を $s_0$ で表すと，第0期の予算制約は
\[
y_0-c_0=s_0
\]
第 $1$ 期の貯蓄の割引現在価値を $s_1$ で表すと，第 $1$期の予算制約は
\[
\dfrac{y_1-c_1}{(1+r)}=s_1
\]
第 $2$ 期の貯蓄の割引現在価値を $s_2$ で表すと，第 $2$ 期の予算制約は
\[
\dfrac{y_2-c_2}{(1+r)^2}=s_2
\]
第 $T$ 期の貯蓄の割引現在価値を $s_T$ で表すと，第 $T$ 期の予算制約は
\[
\dfrac{y_T-c_T}{(1+r)^T}=s_T
\]
$1$ から $T$ の和を取れば，
\[
y_0+\dfrac{y_1}{(1+r)}+\dfrac{y_2}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{y_T}{(1+r)^T}
-\Bigl(c_0+\dfrac{c_1}{(1+r)}+\dfrac{c_2}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{c_T}{(1+r)^T}\Bigr)
=s_0+s_1+\cdots + s_T
\]
ライフサイクル仮説から $s_0+s_1+\cdots + s_T =0$ なので，
\[
y_0+\dfrac{y_1}{(1+r)}+\dfrac{y_2}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{y_T}{(1+r)^T}
=c_0+\dfrac{c_1}{(1+r)}+\dfrac{c_2}{(1+r)^2}+\cdots +\dfrac{c_T}{(1+r)^T}
\]
という多期間モデルの予算制約式を得る．この式では生涯消費の現在価値=生涯所得の現在価値 という経済学的解釈を得る．
$\boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}y_0 \\ y_1\\ \vdots \\ y_T\end{pmatrix}$ ,
$\boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}c_0 \\ c_1\\ \vdots \\ c_T\end{pmatrix}$ ,
$\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix}1 \\ \dfrac{1}{(1+r)}\\ \vdots \\ \dfrac{1}{(1+r)^T}\end{pmatrix}$ とすると，(3) 式は
$\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{y}=\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{r}$ すなわち，
$(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{c})\cdot \boldsymbol{r}=0$ と書け，
ベクトル $\boldsymbol{y}-\boldsymbol{c}$ と
ベクトル $\boldsymbol{r}$ が直交していることを示している．
【解答終】
【メモ】
ライフサイクル仮説とは，個人の貯蓄（借入金）の総計が終末期には$0$になるように行動するという仮説．ここでは終末期の貯蓄残高の累計を現在価値に割引いてそれを$0$とおくことによって，予算制約式を得た．こんなやり方でよかったのかどうか分からない（笑）．
【メモ終】
【Further Reading】
大垣昌夫・田中沙織『行動経済学』有斐閣（2014）
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