経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
予算線の傾きと代替比
【問】 第$1$財の価格を$p_1$，第$2$財の価格を$p_2$とする．消費者は，予算$I$の下，第$1$財を$x_1$，第$2$財を$x_2$だけ消費しているとする．
第$1$財の消費を$\Delta x_1$増やすためには，同じ予算制約の下で，第$2$財の消費どれだけ減らさねばならないか．$\Delta x_2$を求めなさい．
【解答】
\begin{align}
p_1x_1+p_2x_2&=I\\
p_1(x_1+\Delta x_1)+p_2(x_2+\Delta x_2)&=I
\end{align}
より，辺々引き算して，
\begin{align}
p_1\Delta x_1+p_2\Delta x_2&=0
\end{align}
従って，
\begin{align}
\Delta x_2&=-\dfrac{p_1}{p_2}\Delta x_1
\end{align}
となる．
【解答終】
【メモ】
\[
\dfrac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=-\dfrac{p_1}{p_2}
\]
は代替の比率となる．
【メモ終】
【Further Reading】
ハル・Ｒ・ヴァリアン『入門ミクロ経済学』勁草書房（2000）
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