経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

因果関係はあっても相関係数は$0$なケース

【問】　$x_i=i, y_i=(x_i-8)^2, i=0,1,\ldots ,16$のデータを考える．
ふたつのデータの相関係数を求めなさい．

【解答】

$ \begin{array}{|c|c|} \hline x_i&y_i\\\hline 0&64\\\hline 1&49\\\hline 2&36\\\hline 3&25\\\hline 4&16\\\hline 5&9\\\hline 6&4\\\hline 7&1\\\hline 8&0\\\hline 9&1\\\hline 10&4\\\hline 11&9\\\hline 12&16\\\hline 13&25\\\hline 14&36\\\hline 15&49\\\hline 16&64\\\hline \end{array} $

なのだから，平均は$\bar{x}=8$, $\bar{y}=24$，従って

$ \begin{array}{|c|c|} \hline x_i-\bar{x}&y_i-\bar{y}\\\hline -8&40\\\hline -7&25\\\hline -6&12\\\hline -5&1\\\hline -4&-8\\\hline -3&-15\\\hline -2&-20\\\hline -1&-23\\\hline 0&-24\\\hline 1&-23\\\hline 2&-20\\\hline 3&-15\\\hline 4&-8\\\hline 5&1\\\hline 6&12\\\hline 7&25\\\hline 8&40\\\hline \end{array} $

$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_0-\bar{x} \\ \vdots \\ x_{16}-\bar{x}\end{pmatrix}$ と $\boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}y_0-\bar{y} \\ \vdots \\ y_{16}-\bar{y}\end{pmatrix}$ の内積は，対称性から明らかに，$\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=0$なので，相関係数は$0$である．

【解答終】

【メモ】

「因果関係があれば必ず相関関係があるのか？」と聞かれたら，本問の例で答えると良い．

【メモ終】

【Further Reading】

東京大学教養学部統計学教室編『統計学入門』東京大学出版会（1991）

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