経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
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【問】 キャッシュ・フローとして，$c_0,c_1,\ldots ,c_n$を考える．
また，$i$次ベクトル，$0_i=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$に対して$n+1$次ベクトル，$e_1, {\ell}_2, \ldots , {\ell}_{n-1}$を
\[
e_1=\begin{pmatrix}
1\\
0_n
\end{pmatrix}
,
{\ell}_1=\begin{pmatrix}
1\\
-(1+r)\\
0_{n-1}
\end{pmatrix}
,
{\ell}_2=\begin{pmatrix}
0_1\\
1\\
-(1+r)\\
0_{n-2}
\end{pmatrix}
,
\ldots
,
{\ell}_i=\begin{pmatrix}
0_{i-1}\\
1\\
-(1+r)\\
0_{n-i-1}
\end{pmatrix}
,
\ldots
,
{\ell}_{n-1}=\begin{pmatrix}
0_{n-1}\\
1\\
-(1+r)\\
\end{pmatrix}
,
c=\begin{pmatrix}
c_0\\
c_1\\
\vdots\\
c_{n-1}\\
c_n
\end{pmatrix}
\]
とする．
このとき，
\[
c={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2{\ell}_1+\cdots +{\alpha}_{n}{\ell}_{n-1}
\]
と書けることを示せ．
【解答】
\[
{\alpha}_1e_1+{\alpha}_2{\ell}_1+\cdots +{\alpha}_{n}{\ell}_{n-1}=
\begin{pmatrix}
{\alpha}_1+{\alpha}_2\\
{\alpha}_3-(1+r){\alpha}_2\\
\vdots\\
{\alpha}_n-(1+r){\alpha}_{n-1}\\
-(1+r){\alpha}_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c_0\\
c_1\\
\vdots\\
c_{n-1}\\
c_n
\end{pmatrix}
\]
これを後ろ向きに解いていくと
\begin{align}
{\alpha}_n&=\dfrac{-c_n}{(1+r)}\\
{\alpha}_{n-1}&=\dfrac{-c_{n-1}}{(1+r)}+\dfrac{-c_n}{(1+r)^2}\\
&\vdots\\
{\alpha}_2&=\dfrac{-c_1}{(1+r)}+ \cdots +\dfrac{-c_{n-1}}{(1+r)^{n-2}}+\dfrac{-c_n}{(1+r)^{n-1}}\\
{\alpha}_1&=c_0+\dfrac{c_1}{(1+r)}+ \cdots +\dfrac{c_{n-1}}{(1+r)^{n-2}}+\dfrac{c_n}{(1+r)^{n-1}}\\
\end{align}
となる．
【解答終】
【メモ】
${\alpha}_1$はキャッシュフローのNPV（正味現在価値）になる．
【メモ終】
【Further Reading】
ボイド＋ヴァンデンベルグ『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』講談社（2021）
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