経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
線型独立なベクトルの線形結合
$n$次元ベクトルの集合$a_1.\dots ,a_k$が線型独立であるとは，
\[
{\alpha}_1a_1+\dots {\alpha}_ka_k=0
\]
が成り立つのは${\alpha}_1=\dots ={\alpha}_k=0$となるときだけをいう．
【問】
ベクトル$x$を$a_1.\dots ,a_k$の線形結合とする．
\[
x={\alpha}_1a_1+\dots +{\alpha}_ka_k \tag{1}
\]
このときこの線形結合の係数は一意（unique）であることを示しなさい．
【解答】
\[
x={\beta}_1a_1+\dots +{\beta}_ka_k \tag{2}
\]
と書けたとする．
$(1)-(2)$から
\[
({\alpha}_1-{\beta}_1)a_1+\dots +({\alpha}_k-{\beta}_1)a_k=0
\]
となる．$a_1.\dots ,a_k$は線形独立なので，${\alpha}_1-{\beta}_1=\dots ={\alpha}_k-{\beta}_k=0$,
すなわち，${\alpha}_1={\beta}_1,\dots ,{\alpha}_k={\beta}_k$となる．
【解答終】
【Further Reading】
ボイド＋ヴァンデンベルグ『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』講談社（2021）
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